已知a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上,其中n=1,2,3,…. (Ⅰ)证明数列{lg(1+an)}是等比数列; (Ⅱ)设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an),求
题目
已知a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上,其中n=1,2,3,….
(Ⅰ)证明数列{lg(1+an)}是等比数列;
(Ⅱ)设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an),求Tn及数列{an}的通项公式.
答案
(Ⅰ)证明:由已知,得a
n+1=a
n2+2a
n,
∴a
n+1+1=(a
n+1)
2.
∵a
1=2,∴a
n+1>1.
两边取对数,得lg(a
n+1+1)=2lg(a
n+1),
即
=2.数列{lg(1+a
n)}是以lg3为首项,
公比为2的等比数列.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
lg(an+1)=2n−1lg3=lg32n−1,
∴
an+1=32n−1,
∴
an=32n−1−1.
∴T
n=(1+a
1)(1+a
2)(1+a
n)
=
3×321×322××32n−1=
31+2+22++2n−1=
32n−1.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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