设A是反对称矩阵,B是对称矩阵,证明A的平方是对称矩阵;AB-BA是对称矩阵

题目

设A是反对称矩阵,B是对称矩阵,证明A的平方是对称矩阵;AB-BA是对称矩阵

答案

A=-A^t,B^t=B
A^2=(-A)^t(-A)^t=(A^2)^t
所以A^2为对称矩阵
(AB-BA)^t=(AB)^t-(BA)^t
=B^tA^t-A^tB^t
=B(-A)+AB
=AB-BA
所以AB-BA为对称矩阵