若a为无理数,b为无理数,则a的b次方也为无理数.是真命题还是假命题?
题目
若a为无理数,b为无理数,则a的b次方也为无理数.是真命题还是假命题?
答案
是假命题.
用反证法:
假设此为真命题,则有:若a为无理数,b为无理数,则a^b也为无理数;
那么,由a^b为无理数,b为无理数,可得到推论:(a^b)^b = a^(b²) 也为无理数;
但是,取 a=b=√2 时,a^(b²) = 2 为有理数,出现矛盾;
所以,此为假命题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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