已知a>0,b>0且2a+b=1,求s=2√ab-4a2-b2的最大值

题目

已知a>0,b>0且2a+b=1,求s=2√ab-4a2-b2的最大值

答案

S=2√(ab)-4a²-b²
=2√(ab)-(4a²+b²)
=2√ab-(2a+b)²+4ab
=2√ab-1+4ab
由平均值不等式
a,b为正数且2a+b=1,
2a+b=1≥2√(2ab)
1/2≥√(2ab)
1/4≥2ab
1/8≥ab
S=2√ab-1+4ab
≤2√(1/8)-1+4×1/8
=(√2-1)/2
所以S的最大值是(√2-1)/2