在四棱锥P-ABCD中,侧面PCD是边长为2的正三角形且与底面垂直,底面ABCD是面积为2√3的菱形

题目

在四棱锥P-ABCD中,侧面PCD是边长为2的正三角形且与底面垂直,底面ABCD是面积为2√3的菱形
∠ADC为菱形的锐角.（1）求证PA⊥CD（2）求二面角P-AB-D的大小

答案

（1）求证PA⊥CD
作PE⊥DC交DC于E,因为PDC为边长为2的等边三角形,所以E为DC的中点.
由ABCD的面积为2√3的菱形
△ADC面积=√3=1/2*DA*DC*SIN∠ADC,√3=1/2*2*2* SIN∠ADC
SIN∠ADC=√3/2,∠ADC为菱形的锐角,得∠ADC=60°
所以△ADC是等边三角形,则AE⊥DC
DC⊥平面PAE,得：PA⊥CD.
（2）求二面角P-AB-D的大小
侧面PCD与底面垂直,PE⊥DC,则PE⊥底面,PE⊥AB,
又因为AE⊥DC,AB//DC,所以AE⊥AB
AB⊥平面PAE,得：PA⊥AB
所以∠PAE为二面角P-AB-D
AE=AD*SIN∠ADC=√3
PE=PD* SIN∠PDE=√3
所以AE=PE
由PE⊥底面,得PE⊥AE
△PEA为等腰直角三角形
∠PAE=45°