无理数存在的意义是什么?

题目

无理数存在的意义是什么?

答案

无理数 是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数,即无限不循环小数.如圆周率、√2等.有理数是 所有的 分数,整数,它们都可以化成有限小数,或无限循环小数.如7/22等.实数（real number)分为有理数和无理数(irrational number).·无理数与有理数的区别：1、把有理数和无理数都写成小数形式时,有理数能写成有限小数和无限循环小数,比如4=4.0,4/5=0.8,1/3=0.33333……而无理数只能写成无限不循环小数,比如√2=1.414213562…………根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数.2、所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能.根据这一点,有人建议给无理数摘掉“无理”的帽子,把有理数改叫为“比数”,把无理数改叫为“非比数”.本来嘛,无理数并不是不讲道理,只是人们最初对它不太了解罢了.利用有理数和无理数的主要区别,可以证明√2是无理数.证明：假设√2不是无理数,而是有理数.既然√2是有理数,它必然可以写成两个整数之比的形式：√2=p/q 又由于p和q没有公因数可以约去,所以可以认为p/q 为最简分数,即最简分数形式.把√2=p/q 两边平方 得2=(p^2)/(q^2) 即2(q^2)=p^2 由于2q^2是偶数,p 必定为偶数,设p=2m 由2(q^2)=4(m^2) 得q^2=2m^2 同理q必然也为偶数,设q=2n 既然p和q都是偶数,他们必定有公因数2,这与前面假设p/q是最简分数矛盾.这个矛盾是由假设√2是有理数引起的.因此√2是无理数.