用单调有界收敛定理证明下列极限liman存在

题目

用单调有界收敛定理证明下列极限liman存在
an=1+1/2_...+1/n-lnn

答案

首先要承认ln(1+x)≤x,x>-1时成立,(等号只在x=0时成立).所以1+1/2+...+1/n>ln(2/1)+ln(3/2)+ln(4/3)+...+ln[(n+1)/n]=ln(n+1)因此a[n]>ln(n+1)-lnn>0a[n+1]-a[n]=1/(n+1)-ln(n+1)+lnn=1/(n+1)+ln[1-1/(n+1)]...