如图，△ABC中，AB=AC，E是AB上一点，F是AC延长线上一点，且BE=CF，若EF与BC相交于D，求证：DE=DF．

题目

如图，△ABC中，AB=AC，E是AB上一点，F是AC延长线上一点，且BE=CF，若EF与BC相交于D，求证：DE=DF．

答案

证明：作FH∥AB交BC延长线于H，
∵FH∥AB，
∴∠FHC=∠B．
又∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB．
又∵∠ACB=∠FCH，
∴∠FHE=∠FCH．
∴CF=HF．
又∵BE=CF，
∴HF=BE．
又∵FH∥AB，
∴∠BED=∠HFD，
在△DBE与△FHE中，

∠B＝∠FHC BE＝HF ∠BED＝∠HFD

，
∴△DBE≌△FHE（ASA）．
∴DE=DF．

作FH∥AB交BC延长线于H，构造全等三角形：△DBE和△DHF，由平行线的性质得出两对内错角相等，只需要再证一组边对应相等，根据已知条件，以及所作平行线，可证出HF=BE，三角形全等可证．

本题考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．

考点点评：本题考查了全等三角形的判定和性质；主要是作辅助线，利用了等边对等角，等角对等边，还有全等三角形的判定和性质．正确作出辅助线是解决本题的关键．