设函数f(x)在区间[a,b]上连续,在区间（a,b）内可导,且f(a)=f(b)=0.

题目

设函数f(x)在区间[a,b]上连续,在区间（a,b）内可导,且f(a)=f(b)=0.
证明存在K∈(a,b),使得3f'(k)+2f(k)=0

答案

设g(x)=3f'(x)+2f(x),显然g(x)在[a,b]连续；①如果f(x)=c(c为常数),则f'(x)=0,f(x)=c=f(b)=0,所以g(x)=0,即对任意k∈(a,b),均满足3f'(k)+2f(k)=0；②如果f(x)≠c,则根据洛尔定理,至少存在一点x0∈(a,b),满足f'(x0)=0,不妨设x0是所有满足f'(x)=0[x∈(a,b)]最靠近b点的一点,所以在区间(x0,b),f'(x)不变号[否则存在x1∈(x0,b),满足f'(x1)=0,这和x0最靠近b点的假定矛盾!],即在区间(x0,b),f'(x)＞0和f'(x)＜0二者必居其一；所以在区间(x0,b),f(x)严格单调；又因f(b)=0,所以在区间(x0,b),f(x)≠0；另外f'(x)可以表示成如下形式:f'(x)=f(x)/(x-x'),式中x'为f(x)在x处的切线和x轴的交点,所以g(x)可表示成如下形式:g(x)=3f'(x)+2f(x)=3f(x)/(x-x)+2f(x)=f(x)[3/(x-x')+2],令g(x)=0,即f(x)[3/(x-x')+2]=0,因在区间(x0,b),f(x)≠0,所以3/(x-x')+2=0,即x-x'=-3/2,所以本题等效为在区间(x0,b)寻找该式的解；显然当x∈(x0,b)时,x-x'∈(-∞,0),所以在区间(x0,b)必有一点k,满足k-k'=-3/2；因此存在k∈(x0,b),即k∈(a,b),使得3f'(k)+f(k)=0(证毕).