求证:三个平面两两相交得到三条交线,如果其中的两条相交于一点,那么第三条也经过这个点
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求证:三个平面两两相交得到三条交线,如果其中的两条相交于一点,那么第三条也经过这个点
题目
求证:三个平面两两相交得到三条交线,如果其中的两条相交于一点,那么第三条也经过这个点
答案
证明:设三个平面为α,β,γ,
且α∩β=c,α∩γ=b,β∩γ=a;∵α∩β=c,α∩γ=b,∴c⊂α,b⊂α;
∴c与b交于一点,或互相平行.
(1)如图①,若c与b交于一点,可设c∩b=P.
由P∈c,且c⊂β,有P∈β;又由P∈b,b⊂γ,有P∈γ;∴P∈β∩γ=a;
所以,直线a,b,c交于一点(即P点).
图①; 图②
(2)如图②,若c∥b,则由b⊂γ,且c⊄γ,∴c∥γ;又由c⊂β,
且β∩γ=a,∴c∥a;所以a,b,c互相平行.
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