在△ABC中,a、b、c是三个内角A、B、C对应的三边,已知b²+c²=a²+bc.（1）求角A的大小

题目

在△ABC中,a、b、c是三个内角A、B、C对应的三边,已知b²+c²=a²+bc.（1）求角A的大小
（2）若sinBsinC=3/4,是判断△ABC的形状,并说明理由

答案

(1)根据余弦定理有b²+c²-a²=2bccosA ①
因为b²+c²=a²+bc即b²+c²-a²=bc ②
①=②
2bccosA=bc
cosA=1/2
A=π/3
(2)sinBsinC=3/4
sinBsin(π-A-B)=sinBsin(2π/3-B)
=sinB(√3/2cosB+1/2sinB)
=√3/2sinBcosB+1/2sinBsinB
=√3/4sin2B-1/4cos2B+1/4
=1/2sin(2B-π/6)+1/4=3/4
sin(2B-π/6)=1
2B-π/6=π/2
B=π/3
C=π-A-B=π/3
A=B=C=π/3
所以△ABC为等边三角形