如图，已知Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，O、O1、O2分别是△ABC，△ACD、△BCD的角平分线的交点，求证：（1）O1O⊥CO2；（2）OC=O1O2．

题目

如图，已知Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，O、O₁、O₂分别是△ABC，△ACD、△BCD的角平分线的交点，
求证：（1）O₁O⊥CO₂；（2）OC=O₁O₂．

答案

（1）∵∠A=∠DCB，∴∠EAC=∠O2CB，∴∠EAC+∠ACE=∠O2CB+∠ACE=90°，即∠AEC=90°，∴O1O⊥CO2；（2）连接AO1并延长交CD于点E，连接CO1，BO2并延长交CO1于点F，∵点O1O2分别在∠ACD和∠DCB的平分线上，∴∠O1CO2...