设P是直线l:2x+y+9=0上的任一点,过点P作圆x2+y2=9的两条切线PA、PB,切点分别为A、B,则直线AB恒过定点_.
题目
设P是直线l:2x+y+9=0上的任一点,过点P作圆x2+y2=9的两条切线PA、PB,切点分别为A、B,则直线AB恒过定点___.
答案
因为P是直线l:2x+y+9=0上的任一点,所以设P(m,-2m-9),
因为圆x
2+y
2=9的两条切线PA、PB,切点分别为A、B,
所以OA⊥PA,OB⊥PB,
则点A、B在以OP为直径的圆上,即AB是圆O和圆C的公共弦,
则圆心C的坐标是(
,
-),且半径的平方是r
2=
,
所以圆C的方程是
(x-)2+(y+)2=,①
又x
2+y
2=9,②,
②-①得,mx-(2m+9)y-9=0,即公共弦AB所在的直线方程是:mx-(2m+9)y-9=0,
即m(x-2y)-(9y+9)=0,
由
得,
,
所以直线AB恒过定点(-2,-1),
故答案为:(-2,-1).
根据题意设P的坐标为(m,-2m-9),由切线的性质得点A、B在以OP为直径的圆C上,求出圆C的方程,将两个圆的方程相减求出公共弦AB所在的直线方程,再求出直线AB过的定点坐标.
A:圆的切线方程 B:恒过定点的直线
本题考查了直线和圆的位置关系,圆和圆的位置关系,圆的切线性质,以及直线过定点问题,属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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