设﹛an﹜是公差不为零的等差数列,

题目

设﹛an﹜是公差不为零的等差数列,
Sn是前n项的和,满足﹙a2﹚²＋﹙a3﹚²＝﹙a4﹚²＋﹙a5﹚² ,S7＝7
(1) 求数列的通项公式以及前n项和sn
(2)试求所有的正整数m,使得[am×a(m＋1﹚]／a﹙m＋2﹚是数列Sn中的项
这是一道高考题,尤其是第二问,我做完和答案不一样.另外,第二问中的am,a(m＋1﹚,a﹙m＋2﹚表示的是数列a的第m项,﹙m＋1﹚和﹙m＋2﹚项

答案

（1）因为是等差数列
所以由题意有：(a1+d)^2+(a1+2d)^2=(a1+3d)^2+(a1+4d)^2
化简有： (2*a1+5d)d=0
因为d≠0,所以2*a1+5d=0
即：d=-2*a1/5
又因为S7＝7,即a4=a1+3d=a1-6*a1/5=-a1/5=1
所以a1=-5,d=2
所以an=a1+(n-1)d=-5+2(n-1)=2n-7
Sn=(a1+an)*n/2=[(-5)+(2n-7)]n/2=n(n-6)
（2）若am×a(m＋1﹚]／a﹙m＋2)是Sn中的项,即有
(2m-7)(2m-5)/(2m-3)=n(n-6)
当m=1时,am×a(m＋1﹚]／a﹙m＋2)=-15,无法表示成n(n-6),n∈N+
当m=2时,am×a(m＋1﹚]／a﹙m＋2)=3, 无法表示成n(n-6),n∈N+
当m=3时,am×a(m＋1﹚]／a﹙m＋2)=1, 无法表示成n(n-6),n∈N+
当m≥4时
因为： 2m-9＜(2m-7)(2m-5)/(2m-3)＜2m-7------这个乘一下就可以看出来了
因为(2m-7)(2m-5)/(2m-3)=n(n-1)为整数
所以：(2m-7)(2m-5)/(2m-3)=2m-8
解得：m=5.5
这是不可能的
所以[am×a(m＋1﹚]／a﹙m＋2﹚没有一个是Sn中的项