是否存在质数p,q使得关于x的一元二次方程px^2-qx+p=0有有理根

题目

是否存在质数p,q使得关于x的一元二次方程px^2-qx+p=0有有理根

答案

两根和x1+x2=q/p
两根积x1x2=p/p=1,即两根互为倒数
x2=1/x1
x1+1/x1=q/p
令x1=a/b,(a,b)=1
a/b+b/a=(a^2+b^2)/(ab)=q/p
因(a,b)=1,所以(a^2+b^2,ab)=1,故分母上的ab不能约去因数
故此p包含有ab,为质数的情况只能a,b其中一个为1或-1
不妨令a=1,则：(1+b^2)/b=q/p
得：p=b,q=1+b^2
若b为奇质数,则q为偶数,不符,所以b只能为奇质数2,此时p=2,q=5
所以2x^2-5x+2=0即符合要求,其解为2与1/2