p是边长为1的正方形ABCD所在平面内的一点,P到A,B,C的距离依次为a,b,c,若a＾2+b＾2=c＾2,求∣PD∣的最小值

题目

p是边长为1的正方形ABCD所在平面内的一点,P到A,B,C的距离依次为a,b,c,若a＾2+b＾2=c＾2,求∣PD∣的最小值
要有过程

答案

取A为原点,AB为X轴.各点坐标如图.设P（X,Y）.
有条件:X²+Y²+（X-1）²+Y²＝（X-1）²+（Y-1）²……①
在①下,求d²＝X²+（Y-1）²的最小值.
①可化为：X²+（Y+1）²＝2……②
代入d²,得：d²＝2-4Y＞0.Y需要在②中尽量取大.
X＝0,（Y+1）²＝2.Y＝√2-1,
d²＝2-4（√2-1）＝6-4√2＝（2-√2）²
d＝2-√2为∣PD∣的最小值.