请用面积法证明定理:平行于三角形一边的直线截其它两边,所得的对应线段成比例.

题目

请用面积法证明定理:平行于三角形一边的直线截其它两边,所得的对应线段成比例.
已知,三角形ABC中,DE平行于BC,求证:AD:DB=AE:EC

答案

证明:
连结BE、CD.
因为△CAD、△CDB在AD、DB边上的高相等(都是点C到AB的距离),
所以,△CAD的面积∶△CDB的面积=AD∶DB⑴(等高三角形面积的比,等于底边的比).
同理,△BAE的面积∶△BEC的面积=AE∶EC⑵.
由DE‖BC,可知△BDE与△CDE在DE边上的高相等,△CDB与△BEC在BC边上的高相等(这些高都是平行线DE、BC之间的距离),
所以△BDE的面积=△CDE的面积,△CDB的面积=△BEC的面积⑶(同底等高的三角形面积相等).
在等式 △BDE的面积=△CDE的面积
的两边都加上△ADE的面积,得
△BAE的面积=△CAD的面积⑷
由⑴、⑵、⑶、⑷得AD∶DB=AE∶EC
也可以作出上述三角形的高,用面积公式表示出各三角形的面积来证明.