求曲面z=x^2+y^2和z=6-2x^2-2y^2所围成的立体的体积

题目

求曲面z=x^2+y^2和z=6-2x^2-2y^2所围成的立体的体积

答案

图形是一个开口向上的抛物面和一个开口向下的抛物面围成的立体
不用考虑图形具体的样子
首先求立体在xy坐标面上的投影区域
把两个曲面的交线投影到xy面上去
即两个方程联立：
z=x²+y² .①
z=6-2x²-2y² .②
①-②得：
x²+y²-6+3x²+3y²=0
x²+y²=2
所以立体在xy坐标面上的投影区域是D：x²+y²≤2
其次,根据二重积分的几何意义
立体的体积是两个曲顶柱体的体积的差
两个曲顶分别是：
z=x²+2y²
z=6-2x²-y²
很容易判断得到：
z=6-2x²-y²在Z=x²+2y²上方
所以,立体的体积：
V＝∫∫(D)[(6-2x^2-2y^2)－(x^2+2y^2)]dxdy
在极坐标系下化为累次积分：
V＝∫(0～2π)dθ∫(0～√2)(6－3ρ^2)ρdρ＝6π