已知:如图,△ABC中,AC=BC,以BC为直径的⊙O交AB于点D,过点D作DE⊥AC于点E,交BC的延长线于点F. 求证: (1)AD=BD; (2)DF是⊙O的切线.

已知:如图,△ABC中,AC=BC,以BC为直径的⊙O交AB于点D,过点D作DE⊥AC于点E,交BC的延长线于点F. 求证: (1)AD=BD; (2)DF是⊙O的切线.

题目
已知:如图,△ABC中,AC=BC,以BC为直径的⊙O交AB于点D,过点D作DE⊥AC于点E,交BC的延长线于点F.
求证:
(1)AD=BD;
(2)DF是⊙O的切线.
答案
证明:(1)连接CD,
∵BC为⊙O的直径,
∴CD⊥AB.
∵AC=BC,
∴AD=BD.
(2)连接OD;
∵AD=BD,OB=OC,
∴OD是△BCA的中位线,
∴OD∥AC.
∵DE⊥AC,
∴DF⊥OD.
∵OD为半径,
∴DF是⊙O的切线.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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