计算行列式|x -1 0 ...0 0| |0 x -1 ...0 0| |0 0 0 ...x -1| |a0 a1 a2 ...an-1 an-2+x|

题目

计算行列式|x -1 0 ...0 0| |0 x -1 ...0 0| |0 0 0 ...x -1| |a0 a1 a2 ...an-1 an-2+x|

答案

|x -1 0 ...0 0|
|0 x -1 ...0 0|
|0 0 0 ...x -1|
|a0 a1 a2 ...an-2 an-1+x|
按1列展开=x乘以下面的行列式
|x -1 0 .0 0|
|0 x -1 .0 0|
|0 0 0 ...x -1|
|a1 a2 a3 ...an-2 an-1+x|
加上(-1)^(n+1)a0乘以下面的行列式：
|x -1 0 .0 0|
|0 x -1 .0 0|
.
|0 0 0 ...x -1|
这个行列式的值=(-1)^(n-1)
记原行列式为An,于是有递推公式：
An=a0+xA(n-1)
=a0+x(a1+xA(n-2))
=a0+ a1x+x^2(a2+xA(n-3))
=.
=a0+ a1x+a2x^2+...+a(n-1)x^(n-1)