甲乙两人打乒乓球,甲赢球概率为2/3 已知打满六局或有一方赢了两分时停止,求比赛停止时的局数的随机变量及其期望 两人每局输赢独立

题目

甲乙两人打乒乓球,甲赢球概率为2/3 已知打满六局或有一方赢了两分时停止,求比赛停止时的局数的随机变量及其期望 两人每局输赢独立

答案

至少打2局.也不可能打奇数局,因为若打3、5局,不会出现一方赢2分的局面.所以,局数为2、4、6.
当2局时,甲连赢2局或乙连赢2局,概率为（2/3）×（2/3）+ （1/3）×（1/3）= 5/9
当4局时,甲赢3局（其中必定连赢后2局,前2局胜负可颠倒）或乙赢3局（胜负分布同甲分析）,
概率为2（2/3）×（2/3）×（2/3）×（1/3）+ 2（1/3）×（1/3）×（1/3）×（2/3）= 20 /81
当6局时,必定前4局打成平局（需要减去某方先连赢2局的情况）,概率为4（2/3）×（2/3）×（1/3）×（1/3）= 16/81,这里的4是（甲乙甲乙,甲乙乙甲,乙甲甲乙,乙甲乙甲）4种平局排列.
期望值= 2×5/9 + 4× 20/81 + 6× 16/81 = （90 + 80 + 96）/81 = 266/ 81 次