如图,△ABC是等边三角形,若∠ABE=∠BCE=∠CAD,则△DEF是等边三角形吗?

题目

如图,△ABC是等边三角形,若∠ABE=∠BCE=∠CAD,则△DEF是等边三角形吗?
浙教版 2.4 等边三角形第六题

答案

△DEF是等腰三角形,理由如下：
∵△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=60°（正三角形内角为60°）
∵∠DEF是△ABE的外角,
∴∠DEF=∠BAE+∠ABE
又∵∠ABE=∠CAE
∴∠DEF=∠BAE+∠CAE=∠BAC=60°
同理可得：∠DFE=∠EDF=∠DEF=60°
∴△DEF是正三角形
（三个内角为60°的三角形是正三角形）
因为∠ABE=∠BCF=∠CAD,
所以∠BAE=∠BCF=∠ACD,
又因为AB=AC=BC,
所以三角形ABE、三角形BCF、三角形CAD全等,
所以BF=AE=CD,CF=AD=BE,
所以DE=EF=DF,
即△DEF是等边三角形