椭圆的中心在坐标原点、离心率为1/2,一个焦点为F(0,1).直线L过点F交椭圆与A,B两点且点F分向量AB所成比为2,求直线L的方程

题目

椭圆的中心在坐标原点、离心率为1/2,一个焦点为F(0,1).直线L过点F交椭圆与A,B两点且点F分向量AB所成比为2,求直线L的方程

答案

由于离心率为1/2,设椭圆方程为：y^2/(4m^2)+x^2/(3m^2)=1
设A(x1,y1),B(x2,y2)
且由于所的比为2,所以向量AF=2向量FB
即：（-x1,1-y1）=2(x2,y2-1)
所以得到x1=-2x2
y1=-2y2+1
且A,B均在椭圆上,代入解方程组（关于x1,x2,m的）,可得A,B坐标,于是有直线的方程.