已知X,Y都是正数,求证：(x+y)(x^2+y^2)(x^3+y^3)≥8x^3y^3

题目

已知X,Y都是正数,求证：(x+y)(x^2+y^2)(x^3+y^3)≥8x^3y^3

答案

首先(x+y)(x^2+y^2)(x^3+y^3)=(x+y)^2(x^2+y^2)(x^2-xy+y^2）
因为x,y都是正数
有(x+y)^2≥4xy
(x^2+y^2)≥2xy
(x^2-xy+y^2)≥xy
三式子相乘
即（x+y)(x^2+y^2)(x^3+y^3)≥8x^3y^3