计算三重积分∫∫∫Ωzdxdydz,其中Ω为三个坐标面及平面2/x+y+Z=1所围成的区域

题目

计算三重积分∫∫∫Ωzdxdydz,其中Ω为三个坐标面及平面2/x+y+Z=1所围成的区域

答案

Ω为三个坐标面及平面x/2+y+Z=1所围成的区域,
原式=∫zdz∫dy∫dx
=∫zdz∫2(1-y-z)dy
=∫z[2(1-z)^-(1-z)^]dz
=∫(z-2z^+z^3)dz
=[(1/2)z^-(2/3)z^3+(1/4)z^4]|
=1/2-2/3+1/4
=1/12.