一道初三函数题

题目

一道初三函数题
已知二次函数y=ax²-(b+1)x-3a的图像过P(4,10)交x轴于A（x1,0),B(x2,0),x1＜x2,交y轴于c,且3OA=OB
1.求该二次函数解析式
2.在该二次函数图像上,是否存在M,使锐角MCO＞ACO?若存在,求M横坐标取值范围；若不存在,说明理由

答案

⑴∵x1·x2=-3a/a=-3＜0
∴x1、x2异号
∴x1＜0,x2＞0
∴AO=-x1,OB=x2
由3AO=OB,得 -3x1=x2
∴x1·x2=-x1·(-3x1)=-3
解得 x1=-1,所以x2=3
于是,设该二次函数为y=c(x+1)(x-3)
∵他经过点P(4,10)
∴10=c(4+1)(4-3)
∴c=2,该二次函数的解析式为 y=2x²-4x-6
⑵当点M位于y轴左侧时,有图像容易看出,当它的横坐标大于-1而小于0时,∠MCO＞∠ACO；
当点M位于y轴右侧时,设M在点(m,2m²-4m-6)时,∠MCO=∠ACO
过点M作DM⊥y轴与点D
因为△AOC∽△PDC,所以OA/DP=OC/DC
而OA=1,DP=m,OC=6,DC=(2m²-4m-6)+6=2m²-4m
于是 1/m=6/(2m²-4m)
解得 m=5
∴点M在点(5,24)处时,∠MCO=∠ACO
从图像上可以看出,随着M的横坐标的增大,∠MCO在减小
于是,当M的横坐标大于零而小于5时,∠MCO＞∠ACO
∴点M的横坐标的取值范围是
-1＜x＜5且x≠0 【或表示为(-1,0)∪(0,5)】