导函数不一定是连续函数?而且间断点只能是第二类?

题目

导函数不一定是连续函数?而且间断点只能是第二类?
为什么?函数某点可导的充要条件不是左导数、右导数都存在且相等吗?如果有间断点,那怎么可导,而且为什么是第二类间断点?

答案

函数某点可导的充要条件不是左导数、右导数都存在且相等,这个没错,但是这个是说函数要连续,但是并不意味着导函数也要连续.
函数可导只能推出连续,不可能推出导函数也连续.
关于间断点
首先我们讨论一下原函数的存在性：
1.当f(x)连续时,一定存在原函数F(X)
2.当f(x)存在第一类间断点时,一定不存在原函数.
言外之意就是,f(x)存在第二类间断点时,可以存在原函数.
然后我们来讨论你的问题,首先导函数不一定是连续函数,前面已经讲了.那么我们来讨论,导函数的间断点是否必须为第二类.
既然是“导函数”,说明是某函数求导得到的函数.也就是说,该“导函数”一定是有原函数的.
既然有原函数,根据前面的原函数存在性定理,那么必须不能有第一类间断点,可以是连续的,
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下面给出详细的证明.
首先我们要搞清楚,导数的左（右）极限=左（右）导数的条件是什么.
设f(x) 在x=c点邻域内连续,可导.且导函数在c点左右两侧极限存在（假设极限为A）.
f`(c-0)=lim(f(x)-f(c))/(x-c),由罗比达法则,f`(c-0)=limf`(x)=A
x-c-
也就是此时左导数=导数的左极限=A
同理此时右导数=导数的右极限=A
下面我们证明,导数的间断点只能是第二类间断点.
反证法：假设x=c是导函数f`(x)的间断点,且是第一类间断点（即limf`(x)=A和limf`(x)=A都存在）
因为limf`(x)=A和limf`(x)=A都存在,则f`(c-0)=f`(c+0),也就是说,x=c是导函数f`(x)的连续点.
矛盾.
所以只能是第二类间断点.