正方体ABCD-A1B1C1D1,其棱长为a,求点平面A1BD的距离

题目

正方体ABCD-A1B1C1D1,其棱长为a,求点平面A1BD的距离
正方体ABCD-A1B1C1D1，其棱长为a，求点A到平面A1BD的距离

答案

三角形A1BD是边长为√2a的正三角形、面积为S-A1BD=(√3/2)a^2.
三角形ABD是直角边为a的等腰直角三角形,面积为S-ABD=(1/2)a^2.
点A1到平面ABD的距离为AA1=a.
设点A到平面A1BD的距离为h
三棱锥A-A1BD体积=(1/3)*S-A1BD*h=(√3/6)a^2h
三棱锥A1-BCD体积=(1/3)*S-ABD*AA1=(1/6)a^3
三棱锥A-A1BD体积=三棱锥A1-BCD体积
所以,(√3/6)a^2h=(1/6)a^3、h=(√3/3)a
点平面A1BD的距离=(√3/3)a
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