△ABC中,内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c,已知c=√2,角C=π/3,求a+b的最大值

题目

△ABC中,内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c,已知c=√2,角C=π/3,求a+b的最大值

答案

由正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC=√2/(√3/2)=2√2/√3=2√6/3

则:a=2√6/3*sinA b=2√6/3*sinB

所以:a+b=2√6/3(sinA+sinB)=2√6/3(2*sin[(A+B)/2[*cos[(A-B)/2[) (和差化积)
=2√6/3*2*sin120ºcos[(A-B)/2]
=2√2*cos[(A-B)/2]
由于A+B=120度,所以A-B在(-120度,120度)内
则余弦角在此范围内的值最大为1,此时为A-B=0,即两角相等
所以(a+b)max=2√2