用数论方法证明：1+2+…+9能整除1^k+2^k+…+9^k （k为奇数）

题目

用数论方法证明：1+2+…+9能整除1^k+2^k+…+9^k （k为奇数）

答案

1+2+...+9=5*9
1^k+2^k+…+9^k=(1^k+9^k)+(2^k+8^k)+...+(4^k+6^k)+5^k
除以5余数同：(1^k-1^k)+(2^k-2^k)+...+(4^k-4^k)＝0
1^k+2^k+…+9^k=(1^k+8^k)+(2^k+7^k)+(3^k+6^k)+(4^k+5^k)+9^k
　　　　　　除以9余数同：(1^k-1^k)+(2^k-2^k)+(3^k-3^k)+(4^k-4^k)+0=0
(5,9)=1
所以5*9｜1^k+2^k+…+9^k
即：1+2+…+9能整除1^k+2^k+…+9^k （k为奇数）