设4阶方阵A满足条件：| 3 I ＋A | = 0,AAT= 2I,| A | ＜ 0,求A*的一个特征值．

题目

设4阶方阵A满足条件：| 3 I ＋A | = 0,AAT= 2I,| A | ＜ 0,求A*的一个特征值．
RT

答案

由|3I＋A|＝0 得 |A－(-3)I|＝0,所以,A有一个特征值－3
由A×AT＝2I,两边取行列式得：|A|×|A|＝2^4＝16,又|A|＜0,所以,|A|＝－4
因为A×A*＝|A|I,设A对应于特征值－3的特征向量是x,则Ax＝－3x
所以,A^(-1)x＝－1/3×x
所以,A×A*x＝－4x,得 A*x＝－4×A^(-1)×x＝4×1/3×x＝4/3×x
所以,A*有一个特征值4/3