求抛物线y= x²的平方与Y=2- x²的平方所围成图形的面积,并求此图形绕x轴旋转一周所成立体的体积

题目

求抛物线y= x²的平方与Y=2- x²的平方所围成图形的面积,并求此图形绕x轴旋转一周所成立体的体积

答案

此题是定积分的应用方面的问题,
（1）先求两条抛物线的交点坐标为（1,1）和（-1,1）,所积分区间为-1到1,于是有
S=∫ (-1,1)(2-x²-x²)dx=∫ (-1,1)(2-2x²)dx=(2x-2/3x^3)∣(-1,1)=8/3.
（2）再求旋转体体积：
利用公式V=π∫(a,b)f²(x)dx,积分区间仍为（-1,1）,解得
V=π∫(-1,1)(2-2x²)²dx,计算即可