怎么证明当4p+1为质数时等于两个正整数的平方和

题目

怎么证明当4p+1为质数时等于两个正整数的平方和

答案

证明:先证明模4余1的素数p可以表示为两个正整数的平方和 记p=4k+1 由wilson定理,利用p-i≡-i(modp),i=1,2,...,2k, 易知((2k)!)^2≡-1(modp) 令e=(2k)!,则e^2≡-1(modp) 考虑所有型如ex+y的数,其中x,y为非负整数,x,yp,所以必定有两个这样的数模p同余 即存在非负整数a,b,c,db 由(a-d)(a+d)=(c-b)(c+b)得a-d=AB,a+d=CD,c-b=AC,c+b=BD,其中A,B,C,D为正整数 于是有2a=AB+CD,2b=BD-AC,2d=CD-AB,2c=BD+AC, 所以4p=(AB+CD)^2+(BD-AC)^2=(A^2+D^2)(B^2+C^2) 若A^2+D^2为4的倍数,由于A^2+D^2≠4,得p=(B^2+C^2)*(A^2+D^2)/4为合数,矛盾 若B^2+C^2为4的倍数,同理可得矛盾 若A^2+D^2,B^2+C^2都不是4的倍数,则它们均是2的倍数 于是p=[(A^2+D^2)/2]*[(B^2+C^2)/2] 因为p为素数,所以(A^2+D^2)/2,(B^2+C^2)/2必定有个为1 不妨设(A^2+D^2)/2=1,则A=D=1,从而a=c=(B+C)/2,也矛盾