已知tanα tanβ是方程mx²+92m-3）x+m-2=0的两个实数根,求tan（α+β）的最小值,

题目

已知tanα tanβ是方程mx²+92m-3）x+m-2=0的两个实数根,求tan（α+β）的最小值,

答案

是mx²+(2m-3)x+m-2=0吧.
∵△=(2m-3)²-4m(m-2)=-4m+9≥0,
∴m≤9/4且m≠0,
由韦达定理得,
tanα+tanβ=-(2m−3)/m,tanα•tanβ=(m−2)/m,
∴tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα•tanβ)
=[−(2m−3)/m]/[1−(m−2)/m]
=(3−2m)/[m−(m−2)]
=(3−2m)/2≥-3/4且≠3/2
∴当m=9/4时,tan(α+β)有最小值为-3/4.
故答案为：-3/4．
【先根据tanα和tanβ是方程mx²+(2m-3)x+m-2=0的两个实根,得到两根之和以及两根之积的表达式,并根据有根得到m的取值范围,再结合两角和的正切公式即可得到结论．】
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