证明：ln(2^2)/2^2+ln(3^2)/3^2+ln(4^2)/4^2+.ln(n^2)/n^2

题目

证明：ln(2^2)/2^2+ln(3^2)/3^2+ln(4^2)/4^2+.ln(n^2)/n^2

答案

在证明上式前,先证明:ln(x)<= x-1对于x≥1恒成立(这个用构造函数,求导,不难证明)
如是,令x = n^2,则 ln(n^2)<= (n^2)-1,两边同除以n^2,得(2lnn)/(n^2)<1-(1/n)^2
然后令n=2,3……,n可得到一系列不等式,叠加,得
（2ln2)/(2^2)+(2ln3)/(3^2)+(2ln4)/(4^2)+……+(2lnn)/(n^2)
＜n-{(1/4)+(1/9)+……+（1/n^2)}＜n-{(1/6)+(1/12)+……+1/n(n+1)}=（2n^2-n-1)/2(n+1)
两边同除2,：(ln2)/(2^2)+(ln3)/(3^2)+(ln4)/(4^2)+……+(lnn)/(n^2）＜（2n^2-n-1)/4(n+1)成立