证明:ln(2^2)/2^2+ln(3^2)/3^2+ln(4^2)/4^2+.ln(n^2)/n^2

证明:ln(2^2)/2^2+ln(3^2)/3^2+ln(4^2)/4^2+.ln(n^2)/n^2

题目
证明:ln(2^2)/2^2+ln(3^2)/3^2+ln(4^2)/4^2+.ln(n^2)/n^2
答案
在证明上式前,先证明:ln(x)<= x-1对于x≥1恒成立(这个用构造函数,求导,不难证明)
如是,令x = n^2,则 ln(n^2)<= (n^2)-1,两边同除以n^2,得(2lnn)/(n^2)<1-(1/n)^2
然后令n=2,3……,n可得到一系列不等式,叠加,得
(2ln2)/(2^2)+(2ln3)/(3^2)+(2ln4)/(4^2)+……+(2lnn)/(n^2)
<n-{(1/4)+(1/9)+……+(1/n^2)}<n-{(1/6)+(1/12)+……+1/n(n+1)}=(2n^2-n-1)/2(n+1)
两边同除2,:(ln2)/(2^2)+(ln3)/(3^2)+(ln4)/(4^2)+……+(lnn)/(n^2)<(2n^2-n-1)/4(n+1)成立
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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