验证u（x,y）=x2-y2+xy是z平面上的调和函数,并求使f(i)=-1+i得解析函数f(z)=u+iv.

题目

验证u（x,y）=x2-y2+xy是z平面上的调和函数,并求使f(i)=-1+i得解析函数f(z)=u+iv.

答案

u对x的2次偏导数=2,u对y的2次偏导数=-2.所以这两项相加=0,即u满足拉普拉斯方程,u是调和函数.
f(i)=-1+i, f(z)=z-1=x-1+yi (x-1)对x偏导数=1 =y对y偏导数; y对x偏导数=0=-(x-1)对y的偏导数,所以f是z上的解析函数