如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥BD． （1）求证：BE=AD； （2）求证：AC是线段ED的垂直平分线； （3）△DBC是等腰三角形吗

题目

如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥BD．

（1）求证：BE=AD；
（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线；
（3）△DBC是等腰三角形吗？并说明理由．

答案

（1）证明：∵∠ABC=90°，BD⊥EC，
∴∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
在△BAD和△CBE中，

∠2＝∠1 BA＝CB ∠BAD＝∠CBE＝90°

，
∴△BAD≌△CBE（ASA），
∴AD=BE．
（2）证明：∵E是AB中点，
∴EB=EA，
∵AD=BE，
∴AE=AD，
∵AD∥BC，
∴∠7=∠ACB=45°，
∵∠6=45°，
∴∠6=∠7，
又∵AD=AE，
∴AM⊥DE，且EM=DM，
即AC是线段ED的垂直平分线；
（3）△DBC是等腰三角形（CD=BD）．
理由如下：
∵由（2）得：CD=CE，由（1）得：CE=BD，
∴CD=BD．
∴△DBC是等腰三角形．

（1）把要证明的线段AD和BE放到两个三角形ABD和BCE中即可证明；
（2）根据等腰三角形的三线合一即可证明；
（3）根据（2）中的结论，即可证明CD=BC．

本题考点：直角梯形；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定．

考点点评：综合运用了全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的性质．此类题注意已证明的结论的充分运用．