一随机变量的概率分布题目

题目

一随机变量的概率分布题目
设有四个编号分别为1,2,3,4的盒子和三只球,现将每个球随机放入到四个盒子,记X为至少有一只球的盒子的最小号吗.
求X的分布律.
我的思路：（先从X=4开始）
P(x=4)=(1/4)^3=1/64
p(x=3) 思路：首先从三个球中随机选取一个球放到3号盒子中,然后另外两个球就在3、4号盒子里随机分配,算出来结果是(3*2*2)/64=12/64
p(x=2) 思路：随机放一球到2号,然后其余两个随机在2、3、4中分配,结果是（3*3*3）/64=27/64
p(x=1) 思路：放一球到1号,其余两个四个随机,结果（3*4*4）/64=36/64
而答案分别是 1/64,7/64,19/64,37/64
我想问下,以上思路哪里错了.

答案

P(x=4)=(1/4)^3=1/64没错
p(x=3)=(2/4)^3-(1/4)^3=7/64
思路：盒子的最小号码为3,意味着球只能在3号和4号盒子里面选择,这样的概率是(2/4)^3,
但其中包含了球 全部放在4号盒子里面的情形,应该排除,所以p(x=3)=(2/4)^3-(1/4)^3
你的错误：比如你先把1号球放在3号盒子里,然后把2、3号球分别放在3、4号盒子中,比如2号球分别放在3号盒子中,3号球分别放在4号盒子中；和下面这种情形的结果是一样的：先把2号球放在3号盒子里,然后把1、3号球分别放在3、4号盒子中,比如1号球分别放在3号盒子中,3号球分别放在4号盒子中.
所以你的结果里面出现了大量的重复计数,导致你的结果比正确答案大.
同理：p(x=2)=(3/4)^3-(2/4)^3
p(x=1)=1-(3/4)^3