求1/[sinx(cosx)^4]的不定积分

题目

求1/[sinx(cosx)^4]的不定积分

答案

∫ 1/[sinx(cosx)^4] dx
=∫ sinx/[sin²x(cosx)^4] dx
=-∫ 1/[sin²x(cosx)^4] d(cosx)
=-∫ 1/[(1-cos²x)(cosx)^4] d(cosx)
令cosx=u
=∫ 1/[u^4(u²-1)] du
=∫ (1-u²+u²)/[u^4(u²-1)] du
=∫ (1-u²)/[u^4(u²-1)] du + ∫ u²/[u^4(u²-1)] du
=-∫ 1/u^4 du + ∫ 1/[u²(u²-1)] du
=-∫ 1/u^4 du + ∫ 1/(u²-1) du - ∫ 1/u² du
=1/(3u³) + (1/2)ln|(u-1)/(u+1)| + 1/u + C
=(1/3)sec³x + (1/2)ln|(1-cosx)/(1+cosx)| + secx + C