若抛物线y2=2px（p＞0）与直线x-y-1=0相交于A，B两点，且OA•OB=-1，则p=（　　） A.1 B.2 C.4 D.8

题目

若抛物线y²=2px（p＞0）与直线x-y-1=0相交于A，B两点，且

OA

•

OB

=-1，则p=（　　）
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8

答案

设A（x1，y1），B（x2，y2），则y2＝2pxx−y−1＝0消去y，得：（x-1）2=2px，即x2-（2+2p）x+1=0，∴x1+x2=2+2p，x1x2=1，∴y1y2=（x1-1）（x2-1）=x1x2-（x1+x2）+1=1-（2+2p）+1=-2p，∵OA•OB=-1，∴x1x2+y1y2=-1...

将直线方程与抛物线方程联立，根据韦达定理可求得x₁x₂和y₁y₂的关于p的表达式，根据

OA

•

OB

=-1，即可知x₁x₂+y₁y₂=-1，解方程即可求得p的值．

本题考点：抛物线的简单性质．

考点点评：本题以抛物线为载体，考查直线与抛物线的位置关系，解题时直线方程与抛物线方程的联立是关键，运用韦达定理求解，应掌握．