函数y=(4-x^2)^1/2的面积,不用图形算,用定积分,怎么求?很好奇用

题目

函数y=(4-x^2)^1/2的面积,不用图形算,用定积分,怎么求?很好奇用

答案

都没有上下限,怎么求定积分?
不定积分:
∫√(4-x²)dx,令x=2sinθ,dx=2cosθdθ
=∫2cosθ√(4-4sin²θ)dθ
=4∫cos²θdθ
=4∫(1+cos2θ)/2 dθ
=2∫dθ +2∫cos2θdθ
=2θ+∫cos2θd(2θ)
=2θ+sin2θ+C
=2arcsin(x/2)+2sinθcosθ+C
=2arcsin(x/2)+2·x/2·√(2²-x²)/2+C
=2arcsin(x/2)+(x/2)√(4-x²)+C
要求定积分的面积,只需将上下限代入便可.