已知X1X2…Xn=1,且X1,X2…Xn都是正数,证:(2+X1)(2+X2)...(2+Xn)>=3^n

题目

已知X1X2…Xn=1,且X1,X2…Xn都是正数,证:(2+X1)(2+X2)...(2+Xn)>=3^n
如题

答案

证明：
令xi=2yi,其中i=1,2,…,n
从而X1X2…Xn=（2y1)(2y2)…(2yn)=2^n(y1y2…yn)=1
从而y1y2…yn=1/2^n=（1/2）^n=0.5^n
又因为
(2+X1)(2+X2)...(2+Xn)
=(2+2y1)(2+2y2)...(2+2yn)
=2^n(1+y1)(1+y2)...(1+yn)
所以要证明(2+X1)(2+X2)...(2+Xn)>=3^n
只需证明2^n(1+y1)(1+y2)...(1+yn)>=3^n
即(1+y1)(1+y2)...(1+yn)≥3^n/2^n=（3/2）^n
由二项式定理,可得
（3/2）^n=（1+0.5)^n
=1+n×0.5
+0.5²n(n-1)/2
+…
+C(n,t)0.5^n
+…
+0.5^n ①
上式中的C(n,t)为从n个元素中取出t个元素的组合数.
又可知
(1+y1)(1+y2)...(1+yn)
=1+（y1+y2+...yn)
+(y1y2+y1y3+...+y(n-1)yn)
+…
+(y1y2…yt+…）
+…
+y1y2…yn ②
上式中（y1y2…yt+…）表示从y1到yn这n个数中取t个数,相乘,再把所有这样的乘积相加
下面我们来证明②式中的每一项都大于或等于①式中的对应项.
第一项,都是1,是成立的.
第二项,由均值不等式,
（y1+y2+...yn）/n≥(y1y2…yn)^(1/n)= (0.5^n)^(1/n)=0.5
即y1+y2+...yn≥n×0.5
是成立的.
...
第t+1项（即一般项）,同样由均值不等式,
(y1y2…yt+…）/C(n,t)≥[（y1y2…yt）×…]^（1/C(n,t)）
=[（y1y2…yn）^C(n-1,t-1)]^（1/C(n,t)）
=（y1y2…yn）^（t/n)
=（0.5^n）^（t/n)
=0.5^t ③
即(y1y2…yt+…）≥C(n,t)0.5^n
结论是成立的.
③式中的C(n-1,t-1)是说,把所有C(n,t）个这样y1y2…yt类型的式子相乘后,从y1到yn,都会重复得乘C(n-1,t-1)遍.
...
最后一项（第n+1项）,都是y1y2…yn,结论是成立的.
证完.
注一：其实只需证明一般项即可.写出第一、二和第n+1项,是为了理解起来更直观.
注二：容易看出,用上面的证明思路可以证明更一般一些的结论：
已知X1X2…Xn=1,且X1,X2…Xn都是正数,对任意正数m,有
(m+X1)(m+X2)...(m+Xn)≥(m+1)^n
当然也可推广到更一般一些的结论：
已知X1X2…Xn=p^n,且X1,X2…Xn都是正数,对任意正数m,有
(m+X1)(m+X2)...(m+Xn)≥(m+p)^n
等号都是在x1=x2=...=xn时成立.