设t=sinθ+cosθ,且sin三次方θ+cos三次方θ

题目

设t=sinθ+cosθ,且sin三次方θ+cos三次方θ

答案

t=sinθ+cosθ.则t∈[-根号2,根号2]
sin³@+cos³@=（sin@+cos@）（sin²@-sin@cos@+cos²@）
=t（1-sin@cos@）,
t²=（sin@+cos@）²=1+2sin@cos@,得sin@cos@=（t²-1）/2
于是原式=t[1-（t²-1）/2]
=t（3-t²）/2＜0,解得t∈（-根号3,0）或（根号3,正无穷）
结合t∈[-根号2,根号2]
得t∈[-根号2,0）