证明limf(x)(x趋向于x0)=a等价于对任意{xn},当xn趋向于xo时,f(xn)趋向于a.
题目
证明limf(x)(x趋向于x0)=a等价于对任意{xn},当xn趋向于xo时,f(xn)趋向于a.
答案
先证limf(x)(x趋向于x0)=a推岛出对任意{xn},当xn趋向于xo时,f(xn)趋向于a δε
对任意δ,因为limf(x)(x趋向于x0)=a,所以存在ε,当|x-x0|<ε时,|f(x)-f(x0)|<δ.因为xn趋向于xo,所以存在N,当n>=N时,|xn-x0|<ε,所以此时|f(x)-f(x0)|<δ,所以limf(x)(x趋向于x0)=a推岛出对任意{xn},当xn趋向于xo时,f(xn)趋向于a
再证于对任意{xn},当xn趋向于xo时,f(xn)趋向于a推导出limf(x)(x趋向于x0)=a
用反证法,如果limf(x)(x趋向于x0)=a1,a1不等于a,则由上面的证明对任意{xn},当xn趋向于xo时,f(xn)趋向于a1,与已知矛盾,等其所证
综上limf(x)(x趋向于x0)=a等价于对任意{xn},当xn趋向于xo时,f(xn)趋向于a
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
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