用判别式求值域的一般步骤

题目

用判别式求值域的一般步骤
最好有例子

答案

在函数y=f(x)中,根据定义,一定至少存在一对(x,y)使方程f(x)-y=0成立,二次方程f(x)-y=0有实数解对于分式函数y=f(x)=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)：由于对任意一个实数y,它在函数f(x)的值域内的充要条件是关于x的方程y=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)有实数解,把“求f(x)的值域”这问题可转化为“已知x的方程y=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)有实数解,求y的取值范围”把x当成未知量,y当成常量,化成一元二次方程,让这个方程有根．先看二次项系数是否为零,再看不为零时只需看判别式大于等于零了．此时直接用判别式法是否有可能出问题,关键在于对这个方程取分母这一步是不是同解变形.这个问题进一步的等价转换是“已知x的方程y(x^2+mx+n)=ax^2+bx+c)到少有一个实数解使x^2+mx+n≠0,求y的取值范围”
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用判别式法求函数的值域是求值域的一种重要的方法,但在用判别式法求值域时经常出错,因此在用判别式求值域时应注意以下几个问题：
一、要注意判别式存在的前提条件,同时对区间端点是否符合要求要进行检验
例：求函数的值域.
原式变形为 （＊）
∵,∴,解得.
故所求函数的值域是
错因：把代入方程（＊）显然无解,因此不在函数的值域内.事实上,时,方程（＊）的二次项系数为0,显然不能用“”来判定其根的存在情况.
原式变形为 （＊）
（1）当时,方程（＊）无解；
（2）当时,∵,∴,解得.
综合（1）、（2）知此函数的值域为
二、注意函数式变形中自变量的取值范围的变化
例2：求函数的值域.
将函数式化为
（1）当时,代入上式得,∴,故属于值域；
（2）当时,,
综合（1）、（2）可得函数的值域为.
错因：解中函数式化为方程时产生了增根（与虽不在定义域内,但是方程的根）,因此最后应该去掉与时方程中相应的值.所以正确答案为,且.
三、注意变形后函数值域的变化
例3：求函数的值域.
由已知得 ①,两边平方得 ②
整理得,由,解得.
故函数得值域为.
错因：从①式变形为②式是不可逆的,扩大了的取值范围.由函数得定义域为易知,因此函数得最小值不可能为.∵时,∴,故函数的值域应为.
四、注意变量代换中新、旧变量取值范围的一致性
例4：求函数的值域.
令,则,∴,由及得值域为.
错因：解法中忽视了新变元满足条件.∴设,
.故函数得值域为.
综上所述,在用判别式法求函数得值域时,由于变形过程中易出现不可逆得步骤,从而改变了函数得定义域或值域.因此,用判别式求函数值域时,变形过程必须等价,必须考虑原函数得定义域,判别式存在的前提,并注意检验区间端点是否符合要求.