直线l过抛物线C:y²=2px(p>0)的焦点,l交抛物线C于M,N,交抛物线C的准线于P.若N为MP的中点,则直线l的斜率为?

题目

直线l过抛物线C:y²=2px(p>0)的焦点,l交抛物线C于M,N,交抛物线C的准线于P.若N为MP的中点,则直线l的斜率为?

答案

过M作MF⊥准线于F,过N作NE垂直准线于E,作NG⊥MF于G

∵N为MP的中点

∴EN/MF=PN/PM=1/2
∴2EN=MF
∵EN=FG
∴FG=GM
∴GM=1/2FM
∵直线l过抛物线焦点

∴MN=NE+MF
∴MN=3GM
∴cos∠GMN=1/3
∴tan∠GMN=2√2
∴直线斜率=2√2