实数abcd符合a加b等于c加d,a的立方加b的立方等于c的立方加d的立方,求证a的2010次方加b的2010次方等于c2010次方加d的2010次方

题目

实数abcd符合a加b等于c加d,a的立方加b的立方等于c的立方加d的立方,求证a的2010次方加b的2010次方等于c2010次方加d的2010次方

答案

a+b=c+d
a^3+b^3=c^3+d^3
(a+b)(a^2+b^2-ab)=(c+d)(c^2+d^2-cd)
a^2+b^2-ab=c^2+d^2-cd
(a+b)^2-3ab=(c+d)^2-3cd
ab=cd
a,b和c,d同为方程
x^2-(a+b)x+ab=0
的根.
a等于c,d中的一个,则b一定等于c,d中的另一个,不妨设a=c b=d.
则有：a^2010+b^2010=c^2010+d^2010
证毕.
其实,指数2010改为任意实数,等式都是成立的.