利用高斯公式计算 2xdydz+ydzdx-2012x^3dxdy,其中Σ为Ω：x^2+y^2+z^2≤1,z≥0的整个边界曲面,且取外

题目

利用高斯公式计算 2xdydz+ydzdx-2012x^3dxdy,其中Σ为Ω：x^2+y^2+z^2≤1,z≥0的整个边界曲面,且取外
且取外侧

答案

Σ：x² + y² + z² = 1
∫∫Σ 2xdydz + ydzdx - 2012x³dxdy
= ∫∫∫Ω (2 + 1 - 0) dV
= 3∫∫∫Ω dV
= (3)(4/3)(π)(1)³
= 4π