已知f(x)=asinx+bcosx,定积分（0到π/2)f(x)dx=4,定积分（0到π/6）f(x)dx=(7-3根号3）/2,求f(x)的最值

题目

已知f(x)=asinx+bcosx,定积分（0到π/2)f(x)dx=4,定积分（0到π/6）f(x)dx=(7-3根号3）/2,求f(x)的最值
已知f(x)=asinx+bcosx,定积分（0到π/2)f(x)dx=4,定积分（0到π/6）f(x)dx=(7-3根号3）/2,求f(x)的最大值和最小值.

答案

f(x)=asinx+bcosx
∫【x=0→π/2】f(x)dx=∫【x=0→π/2】(asinx+bcosx)dx
=a∫【x=0→π/2】sinxdx+b∫【x=0→π/2】cosxdx
=a【x=0→π/2】-cosx+b【x=0→π/2】sinxdx
=a[-cos(π/2)+cos0]+b(sin(π/2)-sin0)
=a+b
依题意,有：
a+b=4……………………………………………………(1)
∫【x=0→π/6】f(x)dx=∫【x=0→π/6】(asinx+bcosx)dx
=a∫【x=0→π/6】sinxdx+b∫【x=0→π/6】cosxdx
=a【x=0→π/6】-cosx+b【x=0→π/6】sinxdx
=a[-cos(π/6)+cos0]+b(sin(π/6)-sin0)
=a(2-√3)/2+(b√3)/2
=a+√3(b-a)/2
依题意,有：
a+√3(b-a)/2=(7-3√3)/2……………………………………(2)
由(1)得：a=4-b……………………………………………(3)
代(3)入(2),有：
4-b+√3[b-(4-b)]/2=(7-3√3)/2
4-b+√3(2b-4)/2=(7-3√3)/2
(√3-1)b+4-2√3=7/2-(3/2)√3
(√3-1)b=(√3-1)/2
b=1/2
代入(3),有：a=4-1/2
解得：a=7/2
所以：f(x)=(7/2)sinx+(1/2)cosx
f(x)=(1/2)(7sinx+cosx)
f(x)=[√(7^2+1^2)/2]{[7/√(7^2+1^2)]sinx+[1/√(7^2+1^2)]cosx}
f(x)=[(√50)/2][(7/√50)sinx+(1/√50)cosx]
不妨设：7/√50=cosα,则：1/√50=sinα
代入上式,有：
f(x)=[(√50)/2](cosαsinx+sinαcosx)
f(x)=[(√50)/2]sin(x+α)
f(x)=[(5√2)/2]sin(x+α)
因为：-1≤sin(x+α)≤1
所以：-(5√2)/2≤[(√50)/2]sin(x+α)≤(5√2)/2
即：-(5√2)/2≤f(x)≤(5√2)/2
因此：f(x)的最大值是(5√2)/2,最小值是-(5√2)/2.