高数幂级数问题,f（x）=（1+x）／（1-x）ˇ3展开成x的幂级数

题目

高数幂级数问题,f（x）=（1+x）／（1-x）ˇ3展开成x的幂级数

答案

f(x)＝(2-(1-x))/(1-x)^3＝2/(1-x)^3 - 1/(1-x)^2 ＝ (1/(1-x))''- (1/(1-x))'.
1/(1-x)=∑x^n,-1＜x＜1.
逐项求导,得
1/(1-x)^2＝∑nx^(n-1)＝∑(n+1)x^n,-1＜x＜1.第一个幂级数的n从1开始,第二个的n从0开始.
2/(1-x)^3＝∑n(n+1)x^(n-1)＝∑(n+1)(n+2)x^n,-1＜x＜1.第一个幂级数的n从1开始,第二个的n从0开始.
所以,f(x)＝∑(n+1)(n+2)x^n - ∑(n+1)x^n＝∑(n+1)^2x^n,-1＜x＜1.其中的n从0开始.